Bonjour,
3) Vraie.
Soit n un entier divisible par 6. Alors n s'écrit [tex]n=6k[/tex] avec k entier. Ainsi :
[tex]n^2=(6k)^2=36k^2=4\times \underset{\in \mathbb{N}}{\underbrace{ (9k^2)}}[/tex]
donc [tex]n^2[/tex] est divisible par 4.
3) Soit [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
On utilise une identité remarquable :
[tex](2n+1)^2-25=((2n+1)-5)((2n+1)+5)=(2n-4)(2n+6)=2(n-2) \times 2(n+3)=4 \times [(n-2)(n+3)][/tex]
donc [tex](2n+1)^2-25[/tex] est bien un multiple de 4.
4) Soit [tex]n \in \mathbb{N}[/tex].
Les deux nombres n et n+1 sont consécutifs, donc l'un des deux est pair.
Ainsi, leur produit [tex]n(n+1)[/tex] est pair.
Ainsi, [tex]\dfrac{n(n+1)}{2}[/tex] est entier.
