Bonjour,
[tex]z^2+2iz-1=z^2+2\times z \times i+i^2=(z+i)^2=0\\ \\<=>z=-i[/tex]
Il existe une seule solution z = -i
Pour z nombre complexe différent de 1 (sommes des termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison z)
[tex]1+z+z^2=\dfrac{z^3-1}{z-1}[/tex]
Donc
[tex]z^3-1=(z-1)(1+z+z^2)[/tex]
Donc pour a et b deux nombres complexes
[tex]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/tex]
En effet, soit b = 0 et c'est trivial ([tex]a^3=a\times a^2[/tex] ), soit b=a et c'est à nouveau trivial ([tex]a^3-a^3=0[/tex]) et dans les autres cas:
[tex]a^3-b^3\\\\=b^3\left( (\dfrac{a}{b})^3-1 \right)\\\\=b^3(\dfrac{a}{b}-1)(1+\dfrac{a}{b}+\dfrac{a^2}{b^2})\\\\=(a-b)(b^2+ab+a^2)[/tex]
Revenons à l'équation:
[tex](1+iz)^3=(1-iz)^3\\\\<=> (1+iz)^3-(1-iz)^3=0\\ \\<=> (1+iz-1+iz) \left( (1+iz)^2+(1+iz)(1-iz)+(1-iz)^2\right)=0 \\\\<=> 2iz(1-z^2+2iz+1+z^2+1-z^2-2iz)=0\\ \\<=>2iz(3-z^2)=2iz(\sqrt{3}-z)(\sqrt{3}+z)=0[/tex]
Donc les solutions sont [tex]0, \ \sqrt{3}, \ -\sqrt{3}[/tex]
Si nous prenons le conjugué de l'équation nous aboutissons à la même équation, donc si un nombre complexe est solution son conjugué l 'est aussi. Comme il s'agit d'une équation de degré 3, il y a necessairement au moins une racine réelle.
Merci
