Réponse :
Bonjour,
Sans méthode précise, on prend un nombre et on trouve le second en faisant la différence entre 800 et le premier.
Exemple :
Choix : 400
L'autre nombre est 800 - 400 = 400
400 x 400 = 160000
Autre exemple, choix 500.
L'autre nombre 800 - 500 = 300
300 x 500 = 150000
Généralisons en prenant A pour un nombre :
L'autre nombre B vaut 800 - A.
La multiplication s'écrit ainsi :
A x B = A (800 - A) = 800 A - A²
Et comme nous le dit l'énoncé, le produit est égal à 135036.
800 A - A² = 135036
Réorganisons pour avoir un zéro après le signe =.
A² - 800 A + 135036 = 0
Nous avons une équation à résoudre du second degré, A est présent à la puissance 2.
Méthode classique avec le calcul du discriminant :
(-800)² - 4 x 1 x 135036 = 640000 - 540144 = 99856 = 316²
Calcul ensuite des deux solutions :
(-(-800)+316)/(2x1) = (800+316)/2 = 558
(-(-800)-316)/(2x1) = (800-316)/2 = 242
Une solution donne l'autre, on a "dans l'ordre" un nombre A qui peut être égal à 558 et B = 242 ou A = 242 avec B = 558.
Globalement, le lot est composé de 558 et 242.
Deux nombres ont été trouvés.
L'exercice est prévu par le prof de maths pour tomber sur la résolution d'une équation du second degré.
Si l'on avait écrit un premier nombre 400 + X, l'autre aurait été :
800 - (400 + X) = 400 - X
La multiplication prend alors cette forme :
(400 + X) (400 - X)
Identité remarquable remarquée ! (a + b)(a - b) = a² - b²
Réécriture :
(400 + X) (400 - X) = 400² - X²
Une équation se profile :
400² - X² = 135036
On isole facilement X :
X² = 400² - 135036 = 160000 - 135036 = 24964 = 158²
On trouve X = 158 ou X = -158
Pour X = 158 :
400 + X = 400 + 158 = 558
400 - X = 400 - 158 = 242
Pour X = -158 :
400 + X = 400 + (-158) = 242
400 - X = 400 - (-158) = 400 + 158 = 558
Par cet itinéraire rusé, on trouve aussi ces deux nombres sans difficulté.
L'inconnue X n'est pas dispersée dans l'équation, contrairement à l'équation A² - 800 A + 135036 = 0.