Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
1)
[tex]f(x)=\dfrac{x^2+4x+7}{x+3} \\\\f'(x)=\dfrac{(2x+4)(x+3)-(x^2+4x+7)}{(x+3)^2} =\dfrac{x^2+6x+5}{(x+3)^2} \\\\f'(x)=\dfrac{(x+1)(x+5)}{(x+3)^2} \\[/tex]
2)
[tex]\begin{array}{c|ccccccccc}&-\infty&&-5&&-3&&-1&&\infty\\(x+3)^2&+&+&+&+&0&+&+&+&+\\(x+5)&-&-&0&+&+&+&+&+&+\\(x+1)&-&-&-&-&-&-&0&+&+\\f'(x)&+&+&0&-&|&-&0&+&+\\f(x)&&\nearrow&Max&\searrow&|&\searrow&min&\nearrow&\\\end{array}\\[/tex]
3)
Surement une histoire du nombre de racines d'un second degré avec Delta
4)
[tex]a)\\f(x)=\dfrac{x^2+4x+7}{x+3} =\dfrac{x^2+6x+9-2x-2}{x+3} =x+3-2\dfrac{(x+1)}{x+3} \\=x+3-2\dfrac{x+3}{x+3}+\dfrac{4}{x+3} \\\\f(x)=x+1+\dfrac{4}{x+3} \\a=1, b=1,c=4\\\\b)\\x=-2, f(-2)=-2+1+4=3\\f'(-2)=\dfrac{(-2+1)(-2+5)}{1^2}=-3\\ T\equiv y-3=(x+2)*(-3)\ \Longrightarrow\ y=-3x-3\\[/tex]
c)
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}y&=&x+1\\y&=&-3x-3\\\end{array}\right.\\\\\left\{\begin{array}{ccc}x&=&-1\\y&=&0\\\\\end{array}\right.\\[/tex]
d)
f(x)-d=[tex]f(x)-d=\dfrac{x^2+4x+7}{x+3}-(x+1)=-4\dfrac{2x+1}{x+3} \\f(x)-d >0 \ si\ -3 <x < -\frac{1}{2}[/tex]
Bonus:
[tex]f'(x)=\dfrac{x^2+6x+5}{(x+3)^2} =-3\\\\x^2+6x+5=-3(x^2+6x+9)\\4x^2+24x+32=0\\\\x^2+6x+8=0\\\Delta=6^2-4*8=4\\x=\dfrac{-6-2}{2} =-4\ ou\ x=\dfrac{-6+2}{2} =-2\\Si\ x=-4\ alors\ y=(16-16+7)/(-1)=-7\\\\Si\ x=-2\ alors\ y=3\\[/tex]
