Réponse :
bonjour je vais essayer de te donner une explication. Plaçons dans le repère orthonormé (A; vecAB/6; vecAD/6)
Explications étape par étape
1) les coordonnées des points sont A(0;0); B(6; 0); O(3;3); M(x;0) et N(6;x)
pour démonter que OMN est rectangle- isocèle en O On démontre que OM=ON et que les droites (OM) et(ON) sont perpendiculaires.
OM²=(x-3)²+(0-3)²=x²-6x+9+9=x²-6x+18
ON²=(6-3)²+(x-3)²=9+x²-6x+9=x²-6x+18
donc OM=ON
coef directeur de (OM) a=(3-0)/(3-x)=3/(3-x)
coef directeur de (ON) a'=(x-3)/(6-3)=(x-3)/3=-1(3-x)/3
calculonsle produit a*a'=[-1(3-x)/3]*3/(3-x)=-1
les droites sont perpendiculaires car a*a'=-1
le triangle OMN est rectangle isocèle en O.
2) aire OMN=OM*ON/2 comme ON=OM
f(x)=(x²-6x+18)/2=(1/2)[(x-3)²-9+18]=(1/2)(x-3)²+9/2
nota: dans l'énoncé on te donne f(x)=(1/2)(3-x)²+9/2 mais (3-x)²=(x-3)²
3) c'est f(x)=(1/2)x²-3x+9 (celle qui nous a permis de calculer l'aire du triangle).
4a) f(x) =1/4 de l'aire du carré soit x²/2-3x+9=9
x²/2-3x=0 on factorise x
x(x/2-3)=0 solutions: x=0 M est en A
x=6 M est en B
4b) f(x)=5 soit x²/2-3x+4=0
delta=9-8=1
x1=(3-1)/1=2 et x2=(3+1)/1=4
4c) l'aire est minimale quand (1/2)(x-3²)=0 c'est dire pour x=3 et f(x)=9/2=4,5cm²
5)aire BMN=BM*BN/2=(6-x)x/2=-x²/2+3x
Aire OMBN=aireOMN+aireBMN=x²/2-3x+9-x²/2+3x=9
Cette aire est constante donc indépendante de la position du point M
