Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1) f(x) est de la forme u/v avec :
u=x²+4x+7 donc u'=2x+4
v=x+3 donc v'=1
f '(x)=(u'v-uv')/v²=[(2x+4)(x+3)-(x²+4x+7)] / (x+3)²
Je te laisse développer le numérateur et à la fin , tu auras :
f '(x)=(x²+6x+5)/(x+3)²
2)
f '(x) est du signe de : x²+6x+5 , qui est < 0 entre les racines car le coeff de x² est > 0.
Δ=b²-4ac=6²-4*1*5=16
√16=4
x1=(-6-4)/2=-5 et x2=(-6+4)/2=-1
Tableau de variation :
x---------->-inf....................-5..................--3..................-1.................+inf
f '(x)------>..................+.........0.........-.........||.........-..........0...........+............
f (x)------>...................C..........-6.......D.......||.........D.......2...........C............
D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.
3)
a)
Il permet de voir si l'équation f(x)= k a deux solutions ou pas de solution.
b)
Cet algo n'examine pas les cas où k=2 ou k=-6. Donc pour k=2 ou k=-6, l'algo bloque.
Il faut ajouter un 3ème "si" :
Si k=-6 ou k=2
Afficher une solution
Fin Si
4)
a)
f(x)=ax+b + c/(x+3)
On réduit au même déno :
f(x)=[(ax+b)(x+3)+c) / (x+3)
Je te laisse développer le numérateur et à la fin , tu auras :
f(x)=[ax²+x(3a+b)+3b+c] / (x+3)
Par identification avec :
f(x)=(x²+4x+7) / (x+3)
On a :
a=1
3a+b=4 ==>b=4-3=1
3b+c=7 ==>c=7-3=4
Donc :
f(x)= x + 1 + 4/(x+3)
b)
Tgte en x=-2 :
y=f '(-2)(x-(-2))+f(2)
f '(-2)=-3 et f(-2)=3
Donc :
y=-3(x+2)+3
y=-3x-3
c)
On résout :
x+1=-3x-3
4x=-4
x=-1 qui donne :
y=-1+1=0 ou y=-3(-1)-3=0
Point d'intersection : (-1;0)
d)
La droite (d) a pour équation : y=x+1
Et f(x)=x + 1 + 4/(x+3)
ce qui donne :
f(x)-(x+1)= 4/ (x+3)
4/(x+3) est du signe de (x+3)
x+3 > 0 pour x > -3
et x+3 < 0 pour x < -3.
Donc :
Sur ]-inf;-3[ :
f(x)-(x+1) < 0 qui donne :
f(x) < (x+1)
Sur ]-inf;-3] , Cf est au-dessous de (d).
Sur ]-3;+inf[ :
f(x)-(x+1) > 0 qui donne :
f(x) > (x+1)
Sur ]-3;+inf[ , Cf est au-dessus de (d).
BONUS :
f ' (x)=(x²+6x+5) / (x+3)²
Le coeff directeur de (T) est -3.
Il faut donc résodre :
f '(x)=-3 soit :
(x²+6x+5)/ (x+3)²=-3
(x²+6x+5)/ (x²+6x+9) +3=0
On réduit au même dénominateur :
[(x²+6x+5)+3(x²+6x+9)] / (x²+6x+9)=0
Je te laisse développer le numérateur et trouver :
(4x²+24x+32) / (x²+6x+9)=0
Une fraction est nulle si son numé est nul. On résout :
4x²+24x+32
On divise chaque terme par 4 :
x²+6x+8=0
Δ=6²-4*1*8=4 > 0
√4=2
x1=(-6-2)/2=-4
x2=(-6+2)/2=-2
x2 correspond à la tgte (T).
Il existe un autre point de Cf qui a une tgte // à (T).
C'est le point d'abscisse x=-4.
On peu calculer l'équation (non demandée ) de cette tgte (T').
y=f '(-4)(x+4)+f(-4)
f '(-4)=-3 et f(-4)=-7
y=-3(x+4)-7
(T') ==> y=-3x-19
Je te joins un graph non demandé.
