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résolu

Bonjour, je suis en terminale pouvez vous m’aider pour ce dm de maths svp ?
Exercice 1 : Dans un parc, on étudie une population de hérissons. Cette population était de 100 en fin d'année 2018.
On estime que le nombre de hérissons diminue de 10 % chaque année. Des scientifiques estiment que l'espèce sera
en danger de disparition lorsque la population de hérissons dans le parc sera inférieure à 40.
1. On modélise par un le nombre de hérissons dans le parc à la fin de l'année 2018 + n.
a. Quelle est la nature de la suite (un)? En déduire l'expression de un en fonction de n.
b. A l'aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien d'années cette espèce
sera en danger de disparition.
TI
Casio
2. Afin de préserver l'espèce, on décide de réintroduire 5 hérissons à la fin de chaque année à partir de 2019.On
modélise par vn le nombre de hérissons présents dans le parc à la fin de l'année 2018 + n. Ainsi Vo = 100.
a. Justifier que, pour tout entier naturel n, Vn+1 = 0,9 Vn +5.
b. Dans un repère, tracer les droites d'équation y = 0,9x + 5 et y = x sur l'intervalle [40 ;110).
Construire les huit premiers termes de la suite (vn) sur l'axe des abscisses. Vérifier le graphique en
calculant les huit premiers termes.
c. Par lecture graphique, conjecturer l'évolution de la population de hérissons.
Exercice 2: Pour t'entrainer ...
Le graphique représente la droite d'équation y = x et la courbe de la fonction f définie sur R par :
f(x) = 6 -0,25x.
Déterminer graphiquement le sens de variation et la limite en + o de la suite (vn) définie par Vn+1 = f(v.) quand :
1. Vo = 2
2. Vo = 8

Répondre :

Ex1:

1) a. U(n+1) = Un - 10/100 * Un
U(n+1) = Un - 0,1Un
U(n+1) = (1-0,1)Un (on a factorisé par Un)
U(n+1) = 0,9Un

La suite (Un) peut s’écrire sous la forme U(n+1) = qUn où q est un réel constant ici égal à 0,9.
Donc par définition cette suite est géométrique de raison q=0,9.
De plus, d’après l’énoncé en 2018 (rang 0) il y avait 100 hérissons donc la suite a pour premier terme U(0)=100

Ainsi par definition, une suite géométrique peut s’écrire sous la forme
Un = U(0) * q^n
Donc Un = 100*0,9^n

b. L’espèce est en danger lorsqu’il en reste moins de 40 donc:
On cherche à partir de quel n :
Un < 40
A l aide de la calculatrice on obtient
n = 9.
Ainsi, au bout de 9 ans (2027) l’espèce sera en danger de disparition.

2) a. Vn+1 = Vn - 0,1Vn + 5
Vn+1 = 0,9Vn +5

b. /

c. On remarque que les termes sont de plus en plus petits. Donc on peut conjecturer que la suite est décroissante, c’est à dire qu’il a de moins en moins d’hérisson au cours du temps.
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