Bonjour,
Introduction - Nous allons démontrer que
[tex]\forall n \in \mathbb{N}^*\\ \\\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
Etape 1 -
pour n = 0 cela donne
[tex]\displaystyle \sum_{k=0}^{0} k^2 = 0^2= 0 = \dfrac{0*1*(2*0+1)}{6}=0[/tex]
0 = 0 jusqu'ici tout va bien
Etape 2 - Soit k un entier quelconque non nul, supposons que la proposition est vraie au rang k
[tex]\boxed{\sf \bf HR} \ \ \displaystyle \sum_{p=0}^{k} p^2 = \dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}\\ \\ \sum_{p=0}^{k+1} p^2 = \sum_{p=0}^{k} p^2 + (k+1)^2\\\\=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\dfrac{6(k+1)^2}{6}\\ \\=\dfrac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}\\ \\=\dfrac{(k+1)(k(2k+1)+6(k+1))}{6}\\ \\=\dfrac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6}\\ \\=\dfrac{(k+1)(2k+3)(k+2)}{6}\\ \\=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\\ \\[/tex]
En utilisant l'Hypothèse de Récurrence, nous venons de montrer que cela reste vrai au rang k+1
Conclusion
Nous venons de démontrer que
[tex]\forall n \in \mathbb{N}^*\\ \\\displaystyle \sum_{k=0}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]
Tu peux faire de même pour la derniere et dis moi si tu trouves des difficultés.
Pour la dernière on aurait pu aussi remarquer que pour k entier non nul
[tex]\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}[/tex]
donc les termes vont se télescoper et cela se simplifie en
[tex]1-\dfrac{1}{n+1}=\dfrac{n+1-1}{n+1}=\dfrac{n}{n+1}[/tex]
Merci
