Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
a)
Pour A :
Tu remplaces x et y par les coordonnées et tu vérifies que tu obtiens bien zéro
2²+5²-7*2-5*5+10=.. zéro justement.
Donc A sur le cercle.
Idem pour B et C.
b)
Un cercle a pour équation :
(x-a)²+(y-b)²=r² avec comme centre Ω(a;b) et rayon "r".
On a comme équation :
x²-7x+y²-5y=-10 ==>Equa (1)
x²-7x=(x-7/2)²-49/4
Si tu développes à droite , tu retrouves la gauche. OK ?
y²-5y=(y-5/2)-25/4
Donc Equa (1) devient :
(x-7/2)²+(y-5/2)²-49/4-25/4=-10
(x-7/2)²+(y-5/2)²-74/4=-10
(x-7/2)²+(y-5/2)²=-10+74/4
(x-7/2)²+(y-5/2)²=34/4
c est donc un cercle de centre Ω(7/2;5/4) et de rayon r=√(34/4)=(√34)/2
Ce cercle est circonscrit au triangle ABC.
2)
a)
A et C ont même abscisse donc (AC) ⊥ axe des x.
(d1) ⊥ (AC)
Donc :
(d1) // axe des x.
(d1) passe par B(6;1)
Donc :
Equa (d1) : y=1
b)
Soit M(x;y) un oint quelconque de la hauteur issue de C .
Vecteur CM(x-2;y-0) soit CM(x-2;y)
Vect(AB(6-2;1-5) soit AB(4;-4)
Deux vecteurs u(x;y) et u'(x';y') sont orthogonaux ssi xx'+yy'=0.
Ce qui donne ici :
4(x-2)-4y=0
4x-8-4y=0
On divise chaque terme par -4 :
-x+y+2=0 ==>équation de (d2)
c)
(d1) : y=1
(d2) : -x+y+2=0
Ce qui donne en remplaçant y par 1 dans l'équa de (d2) :
-x+1+2=0
x=3
Donc H(3;1)
3)
De l'équa de (d2) on sort : y=x-2 que l'on reporte dans l'équa du cercle c :
x² + (x-2)²- 7x-5(x-2) +10=0
Après développement que tu fais , tu arrives à :
2x²-16x24=0 soit :
x²-8x+12
Δ=(-8)²-4(1)(12)=16
√16=4
x1=(8-4)/2=2 ==>abscisse de C.
x2=(8+4)/2=6
On reporte x=6 dans : y=x-2 qui donne : y=6-2=4
Donc H'(6;4)
4)
On a (HH') ⊥ (AB) par construction.
Il suffit de montrer que le milieu que j'appelle K de [HH'] est sur (AB).
xK=(xH+xH')/2 et idem pour yK.
xK=(3+6)/2=9/2 et yK=(1+4)/2=5/2
Donc K(9/2;5/2)
Equa de (AB) : y=ax+b
a= (yB-yA)/(xB-xA)=4/-4=-1
(AB) ==>y=-x+b
Passe par A(2;5) qui donne : 5=-2+b ==>b=7
(AB) ==>y=-x+7
On remplace x par xK=9/2 :
y=-9/2+14/2=-5/2 qui est yK.
Donc H' est le sym de H par rapport (AB).
