Bonjour,
J'imagine que l'équation dont tu parles est : [tex]2x^3-20x^2-618x+1980=0[/tex] :)
a) Il faut calculer 2*3^3-20*3^2-618*3+1980 : on trouve bien 0, ce qui prouve que 3 est racine.
Pour la suite, tu veux écrire notre fameux polynôme [tex]2x^3-20x^2-618x+1980=0[/tex] sous la forme (x-3)g(x) où g(x) est un polynôme du second degré.
Par définition, il existe donc [tex]a,b,c\in\mathbb{R}[/tex] tels que [tex]g(x)=ax^2+bx+c[/tex] (avec [tex]a \neq 0[/tex]). Au final, on veut trouver a, b et c tels que le polynôme soit égal à[tex](x-3)(ax^2+bx+c)[/tex].
Développons cette dernière expression :
[tex](x-3)(ax^2+bx+c)\\=ax^3+bx^2+cx-3ax^2-3bx-3c\\=ax^3+(b-3a)x^2+(c-3b)x-3c[/tex]
Tu remarqueras que j'ai regroupé les termes selon les puissances de x.
Si je résume, on a donc [tex]2x^3-20x^2-618x+1980=ax^3+(b-3a)x^2+(c-3b)x-3c[/tex].
Une propriété bien utile des polynômes appelée l'unicité des coefficients nous dit que lorsque pour tout x, P(x)=Q(x), les coefficients des polynômes sont égaux.
On obtient donc le système suivant :
a = 2
b-3a = -20
c-3b = -618
-3c = 1980
Je te laisse résoudre ce système : après résolution, on trouve a = 2, b = -14, c = -660.
On a donc finalement [tex]g(x)=2x^2-14x-660[/tex].
b) Ensuite, c'est beaucoup plus facile de résoudre l'équation, car si (x-3)g(x)=0, alors x-3 = 0 ou g(x) = 0. Or, si g(x) = 0, alors 2x^2-14x-660 = 0 et tu sais factoriser les polynômes du second degré pour trouver leurs racines :)
N'hésite pas à revenir vers moi si tu as besoin de plus de détails. Bonne soirée :)
