👤
résolu

Exercice N°4 Démonstration d'Euclide
On suppose que l'ensemble E des nombres premiers est fini :
E = {2,3;5; 7; ...;p) et on note P = 2 x 3 x 5 x....... xipt 1
1) Démontrer que P n'est pas un nombre premier.
2) Démontrer que P peut s'écrire comme produit d'un entier k et d'un nombre
premier q.
3) Est-ce que P est divisible par un nombre premier appartenant à l'ensemble E?
4) Démontrer que l'ensemble des nombres premiers est un ensemble infini.
Svp g trop besoin

Répondre :

TENURFGO

Bonjour,

P=2*3*5*...*p +1

1) Si P est premier, alors l'ensemble E contient P puisque l'ensemble E est l'ensemble fini de tous les nombres premiers. or P n'appartient pas à E par construction.

Donc P n'est pas premier.

2)

De ce fait, comme P n'est pas premier il est divisible par un nombre premier, donc il existe q premier et k réel tels que P=k * q

3) Comme l'ensemble E des nombres premiers est fini, q appartient forcément à E.

4) donc q divise P et q divise P-1 donc q divise P-(P-1)=1

c'est impossible.

Donc il existe une infinité de nombres premiers.

Merci

Merci d'avoir visité notre site, qui traite de Mathématiques. Nous espérons que les informations partagées vous ont été utiles. N'hésitez pas à nous contacter si vous avez des questions ou besoin d'assistance. À très bientôt, et pensez à ajouter notre site à vos favoris !


Go Class: D'autres questions