Bonjour,
1) f(x) = eˣ - x
f'(x) = eˣ - 1
f'(x) = 0 ⇒ eˣ = 1 ⇒ x = 0
x -∞ 0 +∞
f'(x) - 0 +
f(x) décrois. crois.
2) f atteint un minimum en x = 0 et vaut alors f(0) = 1
⇒ pour tout x appartenant à R, f(x) ≥ 1 > 0
3) Pour tout x réel, f(x) > 0
⇔ eˣ - x > 0
⇔ eˣ > x
⇒ lim quand x→+∞ eˣ > lim quand x→+∞ x
Or lim quand x→ +∞ x = +∞
⇒ lim quand x→ +∞ eˣ = +∞
4) On pose X = -x
⇒ lim quand x→ -∞ eˣ = lim quand X→ +∞ e^(-X)
⇒ lim quand X→ +∞ e^(-X) = +∞
⇒ lim quand X→ +∞ 1/e^(X) = 0⁺ car lim quand x→ +∞ e^(X) = +∞
