Réponse :
Exercice 2 :
1)
pour n entier naturel = 0, 1, 2, 3...
(4/(√(n²+4) - n)) - √(n²+4) = (4 - √(n²+4) * (√(n²+4) - n)) / (√(n²+4) - n) =
( 4 - (n²+4) + n√(n²+4) ) / (√(n²+4) - n) = (-n² + n√(n²+4) ) / (√(n²+4) - n) =
( n ( √(n²+4) - n ) / (√(n²+4) - n) = n
2)
m entier naturel = 0, 1, 2, 3...
E = (m³ - 1) / (1 - m)
Or on a une identité remarquable (m³ - 1) = (m – 1) (m² + m + 1 )
E = -1 * (1 - m³) / (1 - m) = -1 * (1-m) (m² + m + 1) / (1 - m)
E = -1 * (m² + m + 1)
E appartient à Z car multiplicateur par -1 quelquesoit m
Ensemble Z = ...-5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5...
3) n entier naturel appartenant à N
A et B appartenant à N
Parité de A(n) = n² + 5n + 3
Si A est pair alors il appartient à 2N, soit a = 2k,
Cas ou n = 2q : A (2q) = (2q)² + 5(2q) + 3 soit A(2q) = 4q² + 10q + 3
Cas ou n = 2q+1 : A (2q+1) = (2q+1)² + 5(2q+1) + 3 soit A(2q+1) = 4q² + 4q + 1 + 10q + 5 + 3 = 4q² + 14q + 9
A(n) est impair
Parité de B(n) = (n + 2) * (n + 5)
Cas ou n = 2q : B (2q) = (2q + 2) * (2q+5) = 2 * (q + 1) * ( 2q + 5)
Cas ou n = 2q+1 : B (2q+1) = (2q + 3) * (2q + 6) = 2 * (2q + 3) * ( q + 3)
B(n) est pair. On fait un produit entre un nombre impair et un nombre pair
Cela donnera toujours un nombre pair
Explications étape par étape
