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CHASSERIAULOUISEGO
résolu

Bonjour, j'ai absolument besoin d'aide.
On considère un triangle équilatéral ABC et un point M à l’intérieur du triangle. On appelle M1, M2 et M3 les projetés orthogonaux du point M respectivement sur [AB], [BC] et [AC].
1. Exprimer l’aire du triangle MAB
2. De la même manière, exprimer l’aire des triangles MBC et MCA
3. Montrer que la somme 1+2+3 est constante. (On s’aidera des questions 1. et 2.)

Répondre :

TRUDELMICHELGO

Réponse :

bonjour

Explications étape par étape

l'énoncé correct est

Montrer que MM1+MM2+MM3 est constant

1)

rappel

aire d'un triangle

1/2(hauteut)( côté)

2)

aire MAB

1/2(MM1)(AB

3)

aire MBC

1/2(MM2)(BC)

4)

aire MAC

1/2(MM3)(AC)5)

5)

aire MAC+aire MBC+aire MAB=aire ABC

6)

ABC triangle équilatéeral

AB=AC=BC

1/2(MM1)(AB)+1/2(MM2)(AB)+1/2(MM3)( AB)= aire ABC

1/2(AB)(MM1+MM2+MM3)= aire ABC

(AB)(M1+MM2+MM3)=2 aire ABC

MM1+MM2+MM3= 2(aire ABC)/AB

quelque soit la position du point M

MM1+MM2+MM3=  2 (aire(ABC)/ab

MM1+MM2+MM3 est constant

JPMORIN3GO

bjr

sur la figure il faut intervertir les lettres M₁ et M₂

je fais le raisonnement avec les bonnes lettres

1)

aire d'un triangle : base x hauteur /2    

aire MAB =  AB x MM₁ / 2

2)

aire MBC = BC x MM₂ / 2

aire MCA = CA x MM₃ / 2

3)

3. Montrer que la somme 1+2+3 est constante.

je ne sais ce que c'est que ce 1+2+3

j'additionne les 3 aires, on obtient l'aire du triangle ABC

AB x MM₁ / 2 + BC x MM₂ / 2 +  CA x MM₃ / 2 = aire ABC

le triangle est équilatéral, les 3 côtés on la même mesure, soit a

a x MM₁ / 2 + a x MM₂ / 2 +  a x MM₃ / 2 = aire ABC

a (MM₁ / 2 + MM₂ / 2 + MM₃ / 2) = aire ABC          (a en facteur)

(MM₁ / 2 + MM₂ / 2 + MM₃ / 2) = aire ABC /a      (on divise par a)

(MM₁ + MM₂ + MM₃ ) / 2 = aire ABC /a

(MM₁ + MM₂ + MM₃ )  =  (2 x aire ABC) /a

c'est la somme des trois distances de M aux côtés du triangle qui est constante

Voir l'image JPMORIN3
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