Réponse:
Bonjour
1) Étudions le signe de la difference des deux expressions a comparer.
-x² - ( -2x + 1) = -x² + 2x - 1 = -(x²-2x+1) = -(x-1)²
ainsi (x-1)² ≥ 0 (un carré est toujours positif ou nul)
<=> -(x-1)² ≤ 0
<=> -x² - ( -2x + 1) ≤ 0
<=> -x² ≤ -2x + 1 pour tout x > 0
la fonction exponentielle étant strictement croissante, l'ordre est conservé entre 2 nombres et leurs images
donc exp(-x²) ≤ exp(-2x+1) pour tout x > 0
2a)
-0,5e×(-2xe⁻²ˣ) =
-0,5×(-2x ) × e⁻²ˣ×e¹ =
xe⁻²ˣ⁺¹
2b)
lim (-2x) = -∞
x→+∞
lim xeˣ = 0 par croissance comparee
x→-∞
donc
lim (-2xe⁻²ˣ) = 0 par composée de fonctions.
x→+∞
lim (-0,5e×(-2xe⁻²ˣ)) = 0
x→+∞
donc
lim (xe⁻²ˣ⁺¹) = 0
x→+∞
pour x > 0, on a d'apres la question 1
xe⁻ˣ²≤ xe⁻²ˣ⁺¹
et
xe⁻ˣ² ≥0
ainsi
0 ≤ f(x) ≤ xe⁻²ˣ⁺¹
donc d'apres le théorème des gendarmes
lim f(x) = 0
x→+∞
3)
f est de la forme u×v
f'(x) = 1×e⁻ˣ² + x×(-2xe⁻ˣ²)
f'(x) = e⁻ˣ²(1-2x²)
4)
e⁻ˣ² > 0 pour tout x ≥ 0 donc f'(x) est du signe de 1-2x² pour x ≥ 0
1-2x² ≥0 <=>
1 ≥ 2x² <=>
x² ≤ ½ <=>
0 ≤ x ≤ (√2) /2
ainsi
f'(x) est positive sur [0; (√2)/2] et f est croissante sur [0; (√2)/2]
f'(x) est negative sur [(√2)/2; +∞[ et f est décroissante sur [(√2)/2; +∞[.
le tableau de variation n'est pas explicitement demandé. on pourra le dresser en y faisant apparaitre la limite calculée en 2) ainsi que la valeur du maximum f(√2/2)
