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n(n⁴ - 1) = n(n² - 1)(n² + 1) = n (n - 1)(n + 1)(n² + 1)
tout naturel n peut s'écrire sous la forme
5k ; 5k + 1; 5k + 2, 5k + 3 ou 5k + 4 (où k est un naturel)
• si n = 5k alors le facteur n est divisible par 5
• si n = 5k + 1 alors n - 1 = 5k ; le facteur n - 1 est divisible par 5
• si n = 5k + 2 alors (n² + 1) = (5k + 2)² = 25k² + 20k + 4 + 1
= 25k² + 20k + 5
= 5(5k² + 4k + 1)
le facteur n² + 1 est divisible par 5
• si n = 5k + 3 alors (n² + 1) = (5k + 3)² = 25k² + 30k + 9 + 1
= 25k² + 30k + 10
= 5(5k² + 6k + 2)
le facteur n² + 1 est divisible par 5
• si n = 5k + 4 alors n + 1 = 5k + 5 = 5(k + 1)
le facteur n + 1 est divisible par 5
dans tous les cas l'un des facteurs du produit n (n - 1)(n + 1)(n² + 1)
est divisible par 5
conclusion
pour tout naturel n le produit n(n⁴ - 1) est multiple de 5
