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résolu

Bonjour, Soit les fonctions f et g définies sur |R \ {-1} par : f(x)=[tex]\frac{2x+1}{x+1}[/tex] et g(x)= f(f(x)).
2) ([tex]u_{n}[/tex] est la suite définie [tex]u_{0}[/tex] =1 et, pour tout entier naturel n, [tex]u_{n+1}[/tex] =f([tex]u_{n} )[/tex].
3) Montrer que, pour tout entier naturel n, 1[tex]\leq u_{n} \leq u_{n+1} \leq 2[/tex]
4) Expliquer pourquoi la suite ([tex]u_{n}[/tex]) est convergente.
5) Déterminer la limite l de la suite ([tex]u_{n})[/tex]
Merci d'avance

Répondre :

CROISIERFAMILYGO

Réponse :

Explications étape par étape :

■ le texte n' est pas totalement clair ...

   on a plutôt l' impression que x ∈ IN .

■ Uo = 1 ; U1 = 1,5 ; U2 = 5/3 ; U3 = 7/4 ;

  U4 = 1,8 ; U5 = 11/6 ; U6 = 13/7 ; ...

■ la suite (Un) est donc une suite positive croissante !

■ démonstration :

  f(x+1) = 2x+3 / x+2

  a-t-on 2x+3 / x+2 > 2x+1 / x+1   ?  

             (2x+3) (x+1) > (2x+1) (x+2)   ?

               2x²+5x+3 > 2x²+5x+2   ?

                             3 > 2 vérifié !

  lim f(x) pour x tendant vers l' infini = 2

  donc on a bien 1 ≤ Un < Un+1 < 2 .

■ la suite (Un) est bien convergente vers 2 .

■ autre méthode pour trouver la limite à l' infini :

  f(x) = [ 2(x+1) - 1 ] / (x+1) = 2 - 1/(x+1)

  lim 1/(x+1) = 0+ donc lim f(x) = 2-

  d' où lim Un = 2 .

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