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IMEN0512GO
résolu

Bonjour : Un concurrent sur le marché des calculatrices estime que, chaque année, ses efforts lui permettent d'augmenter ses ventes de 5 % par rapport à l'année précédente et que la concurrence lui fait perdre 10000ventes. En 2019, il en a vendu 600000. On note Un le nombre de milliers de calculatrices vendues à l'année 2019+n. On a donc u0=600.
1.Montrer que, pour tout entier n, Un+1=1,05 un -10.
2. Déterminer une suite constante vérifiant la même relation de récurrence que (Un). On note "a" cette constante.
Montrer que la suite Vn, définie, pour tout entier naturel n, par Vn = Un - a, est une suite géométrique dont précisera le 1er terme et la raison.

Répondre :

BERNIE76GO

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

Une valeur qui  augmente de 5% est multipliée par (1+5/100) soit 1.05.

Donc d'une année sur l'autre le nb de calculatrices vendues est miltiplié par 1.05 , nb auquel il faut enlever 10 milliers de calculatrices vendues par la concurrence.

Donc :

U(n+1)=U(n)*1.05-10 ou :

U(n+1)=1.05U(n)-10

2)

Soit la suite (W(n)) qui est constante avec la même relation de récurrence . Donc :

W(n+1)=W(n)=a

Mais W(n+1)=1.05W(n)-10

donc :

a=1.05a-10

10=1.05a-a

10=0.05a

a=10/0.05=200

Donc on pose :

V(n)=U(n)-200 qui donne :

V(n+1)=U(n+1)-200 mais : U(n+1)=1.05U(n)-10

Donc :

V(n+1)=1.05Un-10-200

V(n+1)=1.05Un-210 ==>On met 1.05 en facteur :

V(n+1)=1.05[U(n)-200] ==>mais U(n)-200=V(n) donc :

V(n+1)=1.05V(n)

qui prouve que :

La suite (V(n)) est une suite géométrique de raison q=1.05 et de 1er terme V(0)=U(0)-200=600-200=400.

On peut continuer :

On sait alors que :

V(n)=V(0)*q^n soit :

V(n)=400*1.05^n

qui donne :

U(n)=400*1.05^n+200

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