Réponse :
Bonjour ,un exercice intéressant
Explications étape par étape
partie A: f(x)=e^x² Df=R
1) limites
si x tend vers -oo, x² tend vers+oo donc f(x)tend vers+oo
si x tend vers +oo, x² tend vers+oo donc f(x tend vers+oo
Dérivée f'(x)=2x*e^x² ; f'(x)=0 si x=0
si x<0, f'(x)<0 et f(x) décroissante
si x >0, f'(x)>0 et f(x) est croissante
f(0)=e^0=1
Ceci correspond au tableau.
2)Pour démontrer que e^x²>ou= x²+1 il faut prouver que la courbe de e^x² est au dessus de celle de x²+1 donc que l'écart e^x²-(x²+1) est >ou=0
D'où l'étude fde h(x)=e^x²-x²-1
cette fonction h(x) est définie surR
les limites en + ou-oo sont +oo
a)dérivée h'(x)=2xe^x²- 2x
on factorise 2x
h'(x)=2x(e^x²-1)
b)signe de cette dérivée le terme (e^x² -1 ) =0 pour x=0 sinon il est>0
le terme 2x=0 pour x=0
le signe de cette dérivée dépend uniquement du signe de 2x
Tableau de variation de H(x)
x -oo 0 +oo
h'(x)...............-.....................0.........+.............
h(x) +oo........décroi.........0.........croi.........+oo
c) h(0)=e^0-0-1=1-1=0
Conclusion h(x) est >0 sauf pour x=0 où h(x)=0 par conséquent e^x²>ou=x²+1
la courbe représentant f(x) est à l'intérieur de la parabole x²+1; ces deux courbes sont tangentes au point d'abscisse x=0.
Partie B g(x)=e^x²/x son Df=R*
limites en 0
1)si x tend vers 0-, e^x² tend vers1 donc g(x) tend vers 1/0-=-oo
si x tend vers 0+, e^x² tend vers1 donc g(x) tend vers 1/0+=+oo
2)si x tend vers +oo, g(x)=[(e^x)/x]*e^x tu as vu en cours que la limite de (e^x)/x en +oo est +oo donc celle de g(x) est (+oo)*(+oo)=+oo
3a)x+1/x=(x²+1)/x
On a vu partie A que e^x² > ou=(x²+1)
si x<0 et que je divise les deux termes de cette inégalité par x je dois inverser le sens de l'inégalité
donc si x<0, (e^x²)/x <ou=x+1/x
par conséquent la limite en -oo de x+1/x étant -oo, celle de g(x) est -oo
4-a)
dérivée g'(x): c'est la dérivée d'un quotient (u/v)'=(u'v-v'u)/v²
g'(x)=(2x*e^x²*x-1*e^x²)/x²=e^x²*(2x²-1)/x²
le signe de cette dérivée dépend donc uniquement du signe de (2x²-1)
g'(x) =0 si 2x²=1 solution x1=1/V2 et x2=-1/V2
4-b)Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)
x -oo -1/V2 0 1/V2 +oo
g'(x)...........+...............0.........-..............II........-..............0.............+...........
g(x)-oo.....C........g(-1/V2)....D...-oo...II+oo.....D.......g(1/V2).......C........+oo
g(-1/V2) =-V(2e) g(1/V2)=V(2e)
C=croissante et D=décroissante.