Réponse :
Bonjour c'est une fonction polynôme basique sans difficulté .
Explications étape par étape
a) g(x)=x³-3x+3 cette fonction polynôme du 3éme degré est définie sur R
*La limite en -oo ou +oo est la limite du terme du plus haut degré (démostration faite en cours)
en + ou- oo, g(x)=x³(1-3/x²-3/x³)=x³(1+0+0)
si x tend vers -oo, x³ tend vers -oo donc g(x) tend vers -oo
si x tend vers +oo, x³ tend vers+oo donc g(x) tend vers+oo
*Dérivée g'(x) =3x²-3 =3(x²-1)=3(x-1)(x+1)
g'(x) =0 pour x =-1 et x=1
*Tableau de signes de g'(x) et de variations de g(x)
x -oo -1 +1 +oo
g'(x) ..............+.....................0.................-...................0.................+...............
g(x) -oo...........croi...............g(-1)............décroi..........g(1)........croi..............+oo
g(-1)=-1+3-3=-1 et g(1)=1-3-3=-5
b) D'après le TVI on note que g(x)=0 admet une et une seule solution "alpha" sur l'intervalle [1; +oo]
c)par simple calcul mental on voit que que g(2)= -1 et que g(3)=27-9-3=15
g(x) croît très vite
calculons g(2,1)=2,1³-3*2,1-3=-0,039 et g(2,2)=1,048
2,1<alplha<2,2 pour plus de précision prends ta calculette
d) signe de g(x)
g(x)=0 pour x=alpha
g(x)<0 pour x appartenant à ]-oo; alpha[
g(x)>0 pour x appartenant à ]alpha; +oo[
