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résolu

Bonsoir, j'ai un Dm de Maths à rendre demain et je n'arrive pas à plusieurs questions si vous pouviez m'aider merci d'avance. Voici les questions :

n est un nombre entier tel que n= 10a + b avec a et b nombres entiers naturels.
a) Démontrer que si 2a - b est divisible par 4, alors n est divisible par 4.
b) Enoncer la réciproque
Démontrer cette réciproque
c) En s'aidant des questions précédentes, déterminer si le nombre 256 est divisible par 4

Répondre :

TENURFGO

Bonjour,

a)

Comme 4 divise 2a-b, il existe un entier k tel que 2a-b=4k et donc

b=2a-4k=2(a-2k) est un multiple de 2

Ainsi 4 divise 2a-b et 4 divise 2b donc 4 divise n'importe quelle combinaison linéaire de ces deux entiers et en l ocurrence 4 divise 5(2a-b)+3(2b)=10a-5b+6b=10a+b=n donc 4 divise n

b) L'énoncé est "si 4 divise n=10a+b alors 4 divise 2a-b"

Comme 4 divise 10a+b il existe un entier p tel que 10a+b=4p et ainsi b=2(2p-5a) donc 2 divise b et ainsi 4 divise 2b

Donc 4 divise n'importe quelle combinaison linéaire de ces deux entiers et en l ocurrence 4 divise 10a+b-6b=10a-5b=5(2a-b)

Or 4 et 5 sont premiers entre eux donc 4 divise 2a-b et la réciproque est vraie

c)

256=10*25+6 donc a = 25 et b = 6

2a-b=50-6=44 est un multiple de 4

Donc 4 divise 256

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