Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Il existe peut-être une démonstration plus rapide . En voici une en tout cas :
On va chercher la position de M sur [AC] et [BD] grâce à Thalès.
(DC) // (AB)
(DB) et (CA) se coupent en M.
On a une configuration de Thalès avec les triangles MCD et MAB , ce qui donne, en mesures et non en vecteurs :
MC/MA=MD/MB=DC/AB=1/3
Maintenant en vecteurs :
DM=(1/3)MB qui donne DM=(1/4) DB : évident mais on peut le montrer ainsi:
DM=(1/3)(MD+DB)
DM-(1/3)MD=(1/3)DB
DM+(1/3)DM=(1/3)DB
(4/3)DM=(1/3)DB
DM=(1/3)(3/4)DB
DM=(1/4)DB
On continue en vecteurs :
KM=KD+DM mais KD=-(1/2)DC=(-1/2)(1/3)AB=-(1/6)AB et DM=(1/4)DB
KM=-(1/6)AB+(1/4)DB
KM=-(1/6)AB+(1/4)(DA+AB)
KM=-(1/6)AB+(1/4)DA+(1/4)AB
KM=-(2/12)AB+(3/12)AB+(1/4)DA
KM=(1/12)AB+(1/4)DA
4KM=(4/12)AB+DA
4KM=(1/3)AB+DA
Vecteur KI maintenant :
KI=KD+DA+AI mais KD=-(1/6)AB et AI=(1/2)AB=(3/6)AB
KI=-(1/6)AB+DA+(3/6)AB
KI=(2/6)AB+DA
KI=(1/3)AB+DA
Donc :
KI=4KM qui prouve que ces vecteurs sont colinéaires donc que les points k, M et I sont alignés.
