Réponse:
Exercice 1:
Démontrons par récurrence que: ∀n de N Un = n²+n-1
Pour n=0 , (-1)²+(-1)-1 = 1-1-1 = -1 = U0
soit n de N, supposons que Un = n²+n-1
Un+1 = Un+2n+2 = n²+n-1+2n+2 = n²+2n+1+n
Un+1 = (n+1)²+(n+1)-1
donc par récurrence: ∀n de N, Un = n²+n-1
Exercice 2:
a. Démontrons par récurrence que: ∀n de N Un >= 800
Pour n=0 , U0=1000 >= 800
Soit n de N, supposons que Un >= 800
Un >= 800
==> 0,4.Un >= 0,4 × 800
==> 0,4.Un >= 320
==> 0,4.Un+480 >= 320+480
==> Un+1 >= 800
donc par récurrence: ∀n de N, Un >=800
b. Un+1 - Un = 0,4.Un+480-Un = 480 -0,6.Un
Un >= 800
==> -0,6.Un <= -0,6×800
==> -0,6.Un <= -480
==> 480-0,6.Un <= 0
==> Un+1 - Un <= 0
==> Un+1 <= Un
donc Un est décroissante
