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résolu

Bonjour j'ai un petit problème avec cet exercice

Soit f la fonction définie sur [-1; +infini[ par f(x) =
[tex] \sqrt{x + 1} [/tex]
C est la courbe représentative de f.

1. a. Montrer que, pour tout réel x>-1, f'(x) =
[tex] \frac{1}{2 \sqrt{x + 1} } [/tex]
b. En déduire que f"(x) =
[tex] \frac{ - 1}{4(x + 1) \sqrt{x + 1} } [/tex]
pour tout réel x>-1.

c. Justifier que f est concave sur)-1; +infini[.

2. En considérant la tangente T à C, au point d'abscisse 0,
justifier l'inégalité
[tex] \sqrt{x + 1} \leqslant \frac{1}{2} x + 1[/tex]
pour tout réel x de l'in-
tervalle (-1; +infini(​

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Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

f(x)=Vx+1) la dérivée de V(u)=u'/2V(u) donc f'(x)=1/[2V(x+1)]

On note que f'(x) n'est pas définie pour x =-1 donc non dérivable en -1

Pour la dérivée seconde

f'(x) est de la forme u/v sa dérivée est donc (u'v-v'u)/v²

avec u= 1 donc u'=0

v=2V(x+1)  v'=2/2V(x+1)=1/V(x+1)

f"(x)=[-1/V(x+1)]/4(x+1)=-1/[4(x+1)V(x+1)]

On note que f"(x) est toujours <0 par conséquent la courbe est concave.

2) l'équation de la tangente au point d'abscisse x=0 est

y=f'(0)(x-0)+f(0)soit y=(1/2)x+1/2

La courbe représentant f(x) étant  concave elle est en dessous de la tangente  (sauf au point de contact) par conséquent V(x+1)<ou= (1/2)x+1

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