Bonjour,
f injective
[tex]f(x_1,y_1)=f(x_2,y_2)\\\\=> x_1y_1=x_2y_2 \ et \ \dfrac{x_1}{y_1}=\dfrac{x_2}{y_2}\\\\=> x_1(y_2-y_1)=x_2(y_1-y_2) \ et \ y_1(x_2-x_1)=y_2(x_1-x_2)\\\\=> (y_2=y_1 \ ou \ x_1=-x_2 )\ et \ (x_2=x_1 \ ou \ y_2=-y_1)\\\\=> (x_2=x_1 \ ou \ x_1=x_2=0) \ et \ (y_2=y_1 \ ou \ y_1=0=y_2) \\\\=> x_2=x_1 \ et \ y_2=y_1[/tex]
Les autres cas ne sont pas possible car f est définie sur [tex]\mathbb{R}^{+*}[/tex]
donc [tex]x_1, x_2 \ et \ y_1,y_2[/tex] ont même signe et sont non nuls.
f surjective
on cherche [tex](x_1,y_1)[/tex] tel que
[tex]f(x_1,y_1)=(x_2,y_2)\\\\=> x_1y_1=x_2 \ et \ \dfrac{x_1}{y_1}=y_2\\\\=> x_1^2=x_2y_2 \ et \ y_1^2=\dfrac{x_2}{y_2}\\\\=> x_1=\sqrt{x_2y_2} \ et \ y_1=\sqrt{\dfrac{x_2}{y_2}}[/tex]
Il est possible de trouver un antécédent donc f est surjective.
f est injective et surjective, c'est donc une bijection et sa fonction réciproque est définie sur [tex]\mathbb{R}^{+*}^2[/tex]
[tex]f^{-1}(x,y)=(\sqrt{xy},\sqrt{x/y})[/tex]
