Bonsoir,
4)c) Considérons la proposition [tex] P_{n} [/tex] : "[tex] f(U_{n}) \leqslant k [/tex] et [tex] f(V_{n}) \geqslant k [/tex].
Initialisation :
Pour [tex] n=0 [/tex], [tex] U_{0}=a [/tex] et [tex] V_{0}=b [/tex]. Comme [tex] f(a) \leqslant k \leqslant f(b) [/tex] donc [tex] f(U_{0}) \leqslant k \leqslant f(V_{0}) [/tex]. [tex] P_{0} [/tex] est donc bien vérifiée.
Hérédité : Soit [tex] n \in \mathbb{N} [/tex]. Supposons [tex] P_{n} [/tex] vraie. Deux cas devant nous :
- Si [tex] f(\frac{U_{n}+V_{n}}{2})>k[/tex] :
D'une part : [tex] U_{n+1}=U_{n} [/tex] donc d'après l'hypothèse de récurrence, [tex] f(U_{n+1})=f(U_{n}) \leqslant k [/tex].
De l'autre : [tex] V_{n+1}=\frac{U_{n}+V_{n}}{2} [/tex], donc [tex] f(V_{n+1})>k [/tex].
- Si [tex] f(\frac{U_{n}+V_{n}}{2})<k[/tex] :
D'une part : [tex] U_{n+1}=\frac{U_{n}+V_{n}}{2} [/tex], donc [tex] f(U_{n+1})<k [/tex].
De l'autre : [tex] V_{n+1}=V_{n} [/tex], donc d'après l'hypothèse de récurrence, [tex] f(V_{n+1})=f(V_{n}) \geqslant k [/tex].
Ainsi, dans tous les cas, on a :
[tex] f(U_{n}) \leqslant k \leqslant f(V_{n}) [/tex].
■.
d) D'après la question précédente :
[tex] f(U_{n}) \leqslant k \leqslant f(V_{n}) [/tex].
Par passage à la limite, comme [tex] (U_{n}) [/tex] et [tex] (V_{n}) [/tex] convergent toutes les deux vers [tex] \alpha [/tex], et que [tex] f [/tex] est continue sur [tex] I [/tex] et en particulier en [tex] \alpha [/tex], on a :
[tex] f(\alpha) \leqslant k \leqslant f(\alpha) [/tex].
Donc, d'après le théorème des gendarmes, on a bien finalement :
[tex] f(\alpha)=k [/tex].
Voilà, bonne soirée.
