Soit E un espace vectoriel sur R de dimension 3 rapporré dans la base (vecteur i, vecteur j, vecteur k) et soit S l'endomorphisme de E défini par b: S (vecteur i ) = 5i + 8j - 10k S (Vecteur j) = -8i -15j +20k S (Vecteur k) = -4i - 8j + 11k
a) Definir analytiquement S Montrer que S est subjectif b) Demontrer que l'ensemble des vecteurs invariants par S est un plan vectoriel P dont on detrrminera une base (vecteur i', vecteur j') c) Demontrer que l'ensemble des vecteurs U de E tels que S (U) = -U est une droite vectorielle dont on detrrminera une base vecteur k'. d) Demontrer que (vecteur i, vecteur j vecteur k ) est une base de E et definir analytiquement l'endomorphisme S de cette base. e) On designe par p la projection de E sur P parallèlement à D. Demontrer que : Quelque soit vecteur U appartenant à P , S vecteur U = 2p vecteur u - vecteur u .
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