Bjr, pour faciliter les explications nous allons noter le point H le point d'intersection de la droite (AC) et de la perpendiculaire à (AC) passant par B.
Et alors nous notons la distance HC = x un nombre réel quelconque.
Nous supposons que A est situé comme dans le dessin donc x est positif et nous notons la distance HA = M une valeur fixée.
De ce fait, le triangle BHC est un triangle rectangle par construction et nous pouvons appliquer le th de Pythagore
[tex]50^2+x^2=BC^2 \\\\\boxed{BC=\sqrt{x^2+50^2}}[/tex]
Bob va devoir nager de B vers C 0 à une vitesse donnée v et ensuite courir de C vers A à une vitesse 5v (car il court 5 fois plus vite qu'il nage)
De ce fait, le temps de faire BC est
[tex]\dfrac{BC}{v}[/tex]
et le temps de faire CA est (comme CA = M-x)
[tex]\dfrac{M-x}{5v}[/tex]
Le temps total du trajet de Bob est donc de
[tex]\dfrac{\sqrt{x^2+50^2}}{v}+\dfrac{M-x}{5v}=\dfrac1{5v}\times (5\sqrt{x^2+50^2}+M-x)[/tex]
Nous devons donc trouver x tel que cette expression soit minimale.
Notons la fonction définie sur IR par, pour tout x réel,
[tex]f(x)=5\sqrt{x^2+50^2}+M-x \\\\f'(x)=\dfrac{5x-\sqrt{x^2+50^2}}{\sqrt{x^2+50^2}}[/tex]
f est dérivable car composée et combinaison linéaire de fonctions qui le sont et nous pouvons expliciter sa dérivée
[tex]f'(x)=0 \iff 5x=\sqrt{x^2+50^2} \iff 25x^2=x^2+50^2\\\\\iff x^2=\dfrac{50^2}{24}\\\\x_0= \dfrac{50}{\sqrt{24}} = 10.20620...[/tex]
Nous ne prenons que la solution positive. Nous étudions f que pour les valeurs positives de x.
De ce fait, la fonction f est décroissante de 0 jusqu'à [tex]x_0[/tex] et croissante ensuite.
Le minimum est atteint en [tex]x_0[/tex]
Vous pouvez dresser le tableau de variations.
Ce qui répond à la question.
(on peut supposer que le point A est suffisament loin à savoir HA = M > [tex]x_0[/tex] sinon le minimum est HA)
Merci
