Bjr
la notation de l'intégrale sans borne indique qu il est demandé de trouver l ensemble de toutes les primitives. Si jamais tu n es pas a l aise avec cette notation, tu peux commencer par trouver la primitive qui s'annule en 0, donc
[tex]\displaystyle \int_0^x t \cdot \arctan(t) dt[/tex]
Nous allons faire, comme l'énoncé le suggérait une intégration par parties.
[tex]v'(t)=t, v(t)=\dfrac{t^2}{2} \\\\u(t)=\arctan(t), u'(t)=\dfrac{1}{1+t^2}[/tex]
Donc allons y
[tex]\displaystyle \int_0^x t \cdot \arctan(t) dt =[\dfrac{t^2 \arctan(t)}{2}]_0^x -\int_0^x \dfrac{t^2}{2(1+t^2)} dt\\\\=\dfrac{x^2 \arctan(x)}{2}-\dfrac{1}{2}\int_0^x \dfrac{1+t^2-1}{1+t^2} dt\\\\=\dfrac{x^2 \arctan(x)}{2}-\dfrac{1}{2}(x-\int_0^x \dfrac{1}{1+t^2} dt)\\\\=\dfrac{x^2 \arctan(x)}{2}-\dfrac{1}{2}(x-\arctan(x))\\\\\\=\dfrac{(1+x^2)\arctan(x) -x}{2}[/tex]
Ainsi, la réponse est
[tex]\displaystyle \int t \cdot \arctan(t) dt[/tex]
est l'ensemble des fonctions sur IR qui à x associe
[tex]\dfrac{(1+x^2)\arctan(x) -x}{2}+C[/tex]
avec C dans IR
c)
si je pose [tex]u(t)=t^2[/tex], je reconnais [tex]\dfrac{u'(t)exp(u(t)}{2}[/tex]
Donc la réponse est l'ensemble des fonctions sur IR qui à x associe
[tex]\dfrac{e^{t^2}}{2}+C[/tex]
avec C dans IR
Merci
