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FATIMMAREGA95GO
résolu

Soit f et g deux fonctions définies sur R par :

f(x) = x(x + 2) - (2x - 1)(x + 2) et

g(x) = (2x + 3)^2 - (x + 1)^2.
1) Développer f(x) et g(x).
2) Factoriser f(x) et g(x).
3) En utilisant l'écriture des fonctions qui est la plus pratique, calculer f(V3)et g(V5) en
valeur exacte.
4) De même façon résoudre, dans R, les équations suivantes :
a) f(x) = 2; b) g(x) = 0; c) f(x) = g(x)

Merci de m aider au plus vite svp​

Répondre :

STELLAPHILIPPE2GO

Réponse :

Explications étape par étape

1/   f(x) = x ( x + 2 ) - ( 2x - 1 ) ( x + 2 )

⇔ f(x) = x² + 2x - ( 2x² + 4x - x - 2 )

⇔ f(x) = x² + 2x - 2x² - 4x + x + 2

⇔ f(x) = -x² - x + 2

g(x) = ( 2x + 3 )² - ( x + 1 )²

⇔ g(x) = 4x² + 12x + 9 - ( x² + 2x + 1 )

⇔ g(x) = 4x² + 12x + 9 - x² - 2x - 1

⇔ g(x) = 3x² + 10x + 8

2/  f(x) = x ( x + 2 ) - ( 2x - 1 ) ( x + 2 )

⇔ f(x) = ( x + 2 )  [ x - ( 2x - 1 ) ]

⇔ f(x) = ( x + 2 ) ( x - 2x + 1 )

⇔ f(x ) = ( x + 2 ) ( -x + 1 )

⇔ f(x) = - ( x + 2 ) ( x - 1 )

    g(x) =  ( 2x + 3 )² - ( x + 1 )²         forme a² - b²  identité remarquable

⇔ g(x) =  [ ( 2x + 3 ) - ( x + 1 ) ]  [ ( 2x + 3 ) + (x + 1 ) ]

⇔ g(x ) = ( 2x + 3 - x - 1 ) ( 2x + 3 + x + 1 )

⇔ g(x) = ( x + 2 ) ( 3x + 4 )

3/ f(√3) = - (√3)² - √3 + 2

⇔ f(√3) = -3 -√3 + 2

⇔ f(√3) = -√3 - 1

g(√5 ) = 3 (√5)² + 10 (√5) + 8

⇔ g(√5) = 3 * 5 + 10√5 + 8

⇔ g(√5) = 15 + 10√5 + 8

⇔ g(√5) = 10√5 + 23

4/ a/   f(x) = 2

   -x² - x + 2  = 2

⇔ - x² - x = 0

⇔ x ( - x - 1 ) = 0

x = 0            ou                - x - 1 = 0

                                   ⇔ - x =  1

                                   ⇔ x = -1

S ={ -1 , 0 }

b/    g(x) = ( x + 2 ) ( 3x + 4 )

 ( x + 2 ) ( 3x + 4 ) = 0

x + 2 = 0           ou   3x + 4 = 0

⇔ x = - 2               ⇔ 3x = -4

                              ⇔x = -4/3

S = { -2 , - 4/3 }

c/ f(x) = g(x)  permet de calculer les points d'intersection des 2 paraboles.

     -x² - x + 2 = 3x² + 10x + 8

⇔ -4x² - 11x - 6 = 0

∆ = b² - 4ac = (-11)² - 4 · (-4) · (-6) = 121 - 96 = 25

Δ > 0

2 solutions réelles

x₁ = ( 11 - 5) / - 8 = 6 / -8 = - 0,75

x₂ = ( 11 + 5 ) / - 8 = 16 / - 8 = - 2

f(-2) =  - ( -2)² - ( -2 ) + 2 = - 4 + 2 + 2 = 0

      f( -0,75 ) = - (-0,75 )² - (-0,75 ) + 2

⇔   f( -0,75 ) = - 0,5625 + 0,75 + 2

⇔  f(-0,75 ) = 2,1875

Les points d'intersection sont:

( -2 ; 0 )   et ( -0,75 ; 2,1875 )

ou

Résolution par factorisation:

   -4x² - 11x - 6 = 0

⇔ 4x² + 11 x + 6 = 0

factorisation avec produit somme

4x² + 8x + 3x + 6 = 0

⇔ 4x ( x + 2 ) + 3 ( x + 2 ) = 0

⇔ ( x + 2 ) ( 4 x + 3 ) = 0

x + 2 = 0         ou     4x + 3 = 0

⇔ x = -2                  ⇔ x = -3/4 = - 0,75

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