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résolu

Théorème des valeurs intermédiaires

On considère la fonction f définie sur R par : f(x)= (3x-4)e^-x

1. Établir le tableau de variation de f sur R

2. Démontrer que l’équation f(x)=0 admet une unique solution réelle de a (alpha) appartenant à l’intervalle [0;4]

3. Déterminer un encadrement de a (alpha) a 10^-3 près

Merci d’avance


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Explications étape par étape

1) Calcul dérivée, de la forme (UV)' =UV'+ U'V

U = (3x-4)  V = [tex]e^{-x}[/tex]

U' = 3        V' = - [tex]e^{-x}[/tex]

dérivée = (3x - 4 )([tex]e^{-x}[/tex]) + 3([tex]e^{-x}[/tex])

= [tex]e^{-x}[/tex] ( 3 - 3x +4) =[tex]e^{-x}[/tex](-3x+7)

[tex]e^{-x}[/tex] toujours > 0 , signe de la dérivée dépends du signe de - 3x +7

-3x+7 =0 ==> x = 7/3      si x > 7/3  f'  < 0 et f(x) décroissante

                                       si x < 7/3  f' > 0 et f(x) croissante

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