Bjr,
a)
f est dérivable sur IR et
[tex]f'(x)=e^x+1 >0[/tex]
donc f est strictement croissante sur IR
b)
[tex]\text{pour }x\rightarrow +\infty\\ \\e^x \rightarrow +\infty\\\\e^x+x-2 \rightarrow +\infty[/tex]
[tex]\text{pour }x\rightarrow -\infty\\ \\e^x \rightarrow 0\\\\e^x+x-2 \rightarrow -\infty[/tex]
on peut dresser le tableau de variations de f
[tex]\left| \begin{array}{c|ccc} x&-\infty&&+\infty&---&---&---&---\\ f'(x) &&+&\\ ---&---&---&---\\ f(x) &-\infty&\nearrow&+\infty\\ ---&---&---&--- \end{array}\right|[/tex]
c) f est continue sur IR, strictement monotone nous pouvons appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique [tex]\alpha[/tex] sur IR tel que
[tex]f(\alpha)=0[/tex]
d)
pas de 1
x f(x)
0 -1
1 1.718281828
Donc
[tex]0 \leq \alpha \leq 1[/tex]
pas de 0,1
x f(x)
0 -1
0.1 -0.794829082
0.2 -0.578597242
0.3 -0.350141192
0.4 -0.108175302
0.5 0.148721271
donc
[tex]0.4 \leq \alpha \leq 0.5[/tex]
pas de 0,01
x f(x)
0.4 -0.108175302
0.41 -0.083182215
0.42 -0.058038444
0.43 -0.032742476
0.44 -0.007292781
0.45 0.018312185
donc
[tex]0.44 \leq \alpha \leq 0.45[/tex]
e)
[tex]f(x) \leq 0 \iff x \leq \alpha\\\\f(x) \geq 0 \iff x \geq \alpha[/tex]
Merci
