Bjr
On va déjà commencer par trouver l'équation de la tangente à Cf au point A qui a pour coordonnées a et
[tex]f(a)=1-a^2[/tex]
f est dérivable et pour tout x réel
[tex]f'(x)=-2x[/tex]
donc l 'équation de la tangente à Cf en A est
[tex]y-f(a)=f'(a)(x-a)\\\\y-1+a^2=-2a(x-a)=-2ax+2a^2\\\\\iff y = -2ax+2a^2+1-a^2\\\\\iff y = -2ax +a^2+1[/tex]
du coup, le point N a pour coordonnées [tex]x_N[/tex] tel que
[tex]-2ax_N+a^2+1=0\\\\x_N=\dfrac{1+a^2}{2a}[/tex]
Le point M a pour coordonnées 0 et [tex]y_M[/tex]
[tex]y_M=-2a\times 0 + 1 + a^2=1+a^2[/tex]
LE triangle OMN est rectangle donc son aire est
[tex]\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1+a^2}{2a}\times 1+a^2=\dfrac{(1+a^2)^2}{4a}[/tex]
Donc maintenant on peut poser la fonction g telle que pout tout a réel >0
[tex]g(a)=\dfrac{(1+a^2)^2}{a}[/tex]
Etudier cette fonction et trouver pour quelle valeur de a elle est minimale.
g est dérivable et pour tout a > 0
[tex]g'(a)=\dfrac{2(1+a^2)\times 2a\times a -(1+a^2)^2}{a^2}\\\\=\dfrac{(1+a^2)(3a^2-1)}{a^2}\\\\g'(a)=0 \iff 3a^2=1 \iff a=\dfrac{1}{\sqrt{3}}[/tex]
le signe de g' donne que g est décroissante de
[tex]\left ]0;\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right ][/tex]
et croissante ensuite
donc le minimum est atteint en
[tex]a=\dfrac1{\sqrt{3}}[/tex]
Merci
