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résolu

Bonjour !
Je demande de l'aide pour la deuxième partie de cet exo . La première partie je l'ai faite avec ma soeur mais malheureusement elle n'a plus le temps de m'aider pour la suite ... Et j'ai énormément des difficultés en maths donc si quelqu'un pourrait me venir en aide svp.

On considère dans un repère orthonormé (O;I;J), trois points A(1;7), B(-5;-5) et C(7;-1).

1) a) Déterminer les coordonnées des points A' , B' et C' , milieux respectifs des segments [BC], [AC], [AB].

b) Déterminer l'équation réduite des droites (AA') et (BB').

c) Déterminer les coordonnée de leur point d'intersection K.

d) Montrer, par le calcul, que K appartient à la droite (CC') .

e) Quel théorème classique de géométrie aurait permis de démontrer le résultat précédent ?

f) Montrer que K est situé aux deux-tiers des segments [AA'], [BB'], [CC'] en partant des points A, B et C.

2. Calculer les distances O A,OB, et OC. Que peut-on en déduire pour le point O?
3. On considère le point H(3; 1).
a. Soit A1 (4;−2). Montrer que A,H et A1sont alignés.
b. Soit C1 (−1; 3). Montrer que C,H et C1 sont alignés.
c. Montrer que les triangles A A1C et CC1A sont des triangles rectangles.
d.Que peut-on en déduire sur le point H?
4. Montrer que les points O,K et H sont alignés.
5. Rechercher la définition de la droite d’Euler.

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Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

2)OA²=xA²+yA²=50  donc OA=5V2

OB²=xB²+yB²=50   donc OB=5V2

OC²=xC²+yC²=50  donc OC=5V2

O est le centre du cercle circonscrit du triangle ABC.

3-a)Les coordonnées du vecAH (2;-6) celles du vecAA1(3;-9)  ces deux vecteurs sont colinéaires car vecAH=(2/3)vecAA1 donc les points A, H, A1 sont alignés.

b) De même vecCH(-4; 2) et vecCC1  (-8,4) ; ces deux vecteurs sont colinéaires car vecCC1=2vecCH donc les points C, H, C1 sont alignés.

c)On va travailler avec les droites en utilisant le th: deux droites sont perpendiculaires si le produit de leur coefficient directeur =-1

coef. dir. (BC)  a=(yB-yC)/(xB-xC)=4/12=1/3

coef.dir. (AA1)  a'=9/-3=-3

a*a'=-1 donc (AA1) est la hauteur issue de A dans le triangle ABC

De même pour les droites (AB)  et( CC1)

coef. dir. (AB) a=(yA-yB)/(xA-xB)=12/6=2

coef. dir. (CC1)  a'=4/-8=-1/2

a*a'=-1 donc (CC1) est la hauteur issue de C dans le triangle ABC

d) Comme H appartient à ces deux hauteurs  , H est l'orthocentre du triangle ABC

4)Je pense que pour K tu as dû trouvé K(1; 1/3)

coordonnées du vecOK(1;1/3) cordonnées du vecOH (3; 1)

On note que vecOH=3vecOK les points O, K et H sont donc alignés.

5) Ces trois points (  O: centre du cercle circonscrit, K: centre de gravité et H: orthocentre )  constituent la droite d'Euler du triangle ABC .  

 

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