Réponse :
Explications étape par étape
On considère un rectangle ABCD tel que AB = 5 cm et BC = 2 cm. M est un point qui se déplace sur DC.
On pose DM = x.
1) Notre objectif est de déterminer pour quelles valeurs de x le triangle AMB est rectangle en M.
A quelle condition sur les longueurs, le triangle AMB est-il rectangle en M ?
AMB est rectangle en M si AB² = AM² + MB²
2) a) Dans le triangle ADM rectangle en D, exprimer AM² en fonction de x. Justifier.
Calculons AM²
AM² = AD² + DM²
AM² = 4 + x²
b) Dans le triangle BMC, exprimer BM² en fonction de x. Justifier.
Calculons MB²
MB² = BC² + MC²
MB² = 4 + (5-x)(5-x)
MB² = 4 + 25 - 5x - 5x + x²
MB² = x² - 10x + 29
3) a) Traduire par une équation d'inconnue x la condition vue à la question n°1 et montrer que cette équation peut s'écrire : 2x² - 10x + 8 = 0.
AMB est rectangle en M si AB² = AM² + MB²
AB² = x² + 4 + x² - 10x + 29
AB² = 2x² - 10x + 33
25 = 2x² - 10x + 31
2x² - 10x + 33 - 25 = 0
2x² - 10x + 8 = 0
b) Développer puis réduire l'expression P = (2x - 2) (x - 4)
P = (2x - 2)(x - 4)
P = 2x² - 8x - 2x + 8
c) En déduire, en utilisant les deux questions précédentes, une nouvelle équation produit nul. La résoudre et conclure.
Nous venons de voir que :
(2x - 2)(x - 4) = 2x² - 8x - 2x + 8
donc
(2x - 2)(x - 4) = 0
Pour qu'un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit
que l'un des facteurs soit nul
2x - 2 = 0
2x = 2
x = 1
x - 4 = 0
x = 4
x = 1 et x = 4 sont donc solutions à la question 1
Bonne soirée
