Réponse :
Rappel:
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle contenant un réel a, la tangente
à la courbe représentative de f au point d’abscisse a a pour équation:
y = f (a) + f ′ (a)(x − a)
1)
a. Il faut lire la courbe
f(-3) = 4
Pour a=-3, on a
y= f(-3) +f'(-3)(x+3) =4 + (x+3)f'(-3)
Or la tangente est horizontale et elle touche le point de coordonnées (-2,4)
c'est-à-dire y= 4 = 4 + (-2+3)f'(-3) => f'(-3) = 0.
Donc f'(-3) = 0.
f(-1) = 2
la tangente à ce point a pour équation:
y = 2+(x+1)f'(-1).
Or la tangente passe par le point de coordonnées (-1,5 ; 3)
donc y = 3 = 2+(-1,5+1)f'(-1) => 2-0.5*f'(-1) = 3
=> -0.5*f'(-1) = 1 => f'(-1) = -1/0.5 = -2
D'où f'(-1) = -2.
b. le signe de f'(x) sur l'intervalle [-6,5].
D’après le graphique,
-La fonction f est croissante sur les intervalles [-6,-3] et [1;5}
Donc f'(x) [tex]\geq[/tex] 0 lorsque x est dans [-6,-3]U[1,5].
- La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [-3,1]
Donc f'(x) < 0 lorsque x est dans ]-3,-1[.
2. Résoudre graphiquement
-f(x) > 0
La solution de cette inéquation est la partie comprise entre 0 et f(-3)=4.
C'est-à-dire S = ]0,4[.
-(f(x)-2)^{2} = 4 les seules valeurs vérifiant cette équation sont 0 et 4.
Donc S={0,4}.
