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25LEACOBARZANGO
résolu

Bonsoir ! Pouvez-vous m'aider à répondre aux questions de cet exercice (même une des trois ☺️) :

On souhaite démontrer la propriété suivante.

POUR TOUS RÉELS A ET B STRICTEMENT POSITIFS, ON A :
[tex] \sqrt{a + b} \: < \sqrt{a \:} + \sqrt{b} [/tex]
En utilisant les indications suivantes, rédiger la démonstration de la propriété.

1)Dire quel est le signe des réels
[tex] \sqrt{a + b} \: et \: \sqrt{a \: } + \sqrt{b} [/tex]
2)Calculer l'image des réels
[tex] \sqrt{a + b} \: et \: \sqrt{a \: } + \sqrt{b} [/tex]
par la fonction carrée et comparer les résultats.

3)En utilisant un argument sur le sens de variation de la fonction carrée, deduire une comparaison des réels
[tex] \sqrt{a + b} \: et \: \sqrt{a \: } + \: \sqrt{b} [/tex]
Merci beaucoup ! ​

Répondre :

Réponse :

Explications étape par étape :

1. Une racine carrée est un nombre positif donc ces deux nombres sont deux nombres positifs

2.[tex](\sqrt{a + b} )^{2} = a + b[/tex]

[tex](\sqrt{a } + \sqrt{b} )^{2} = a + b + 2 \sqrt{a } \times \sqrt{b}[/tex]

[tex]\sqrt{a } \times \sqrt{b} \geq 0[/tex] donc [tex](\sqrt{a } + \sqrt{b} )^{2} \geq (\sqrt{a + b} )^{2[/tex]

3. La fonction carrée est croissante sur [0 ; + ∞ [ donc comme [tex]\sqrt{a } + \sqrt{b}[/tex] et [tex]\sqrt{a + b}[/tex] Sont tous deux positifs alors ils sont dans le meme ordre que leurs carrés donc  

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