Bonjour,
Montrons d'abord que n² pair implique que n est pair.
Il existe deux méthodes il me semble, une qui utilise la contraposée (que tu peux retrouver sur le net très facilement) et une autre que je vais te proposer car je la préfère.
Si n² pair, c'est-à-dire qu'on peut écrire n² = 2p avec p un entier relatif.
Donc n² - 1 = 2p - 1.
Or, a² - b² = (a - b)(a + b) (identité remarquable).
Il vient n² - 1 = (n - 1)(n + 1) = 2p - 1.
2p - 1 est impair donc le produit (n - 1)(n + 1) est aussi impair, or, n - 1 et n + 1 ont la même parité (soit ils sont tous les deux pairs, soit tous les deux impairs en fonction de la parité de n). Ainsi, pour que le produit soit impair, il faut que l'un de ses facteurs soit impair donc n - 1 et n + 1 sont impairs, c'est-à-dire, que n est pair.
Montrons que si n² est pair alors n² est un multiple de 4.
On a montré que si n² est pair alors n est pair, on peut donc écrire n sous la forme n = 2p avec p un entier relatif.
Ainsi n² = (2p)² = 4p², n² est bien un multiple de 4.
Bonne journée,
Thomas
