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résolu

Bonjour je n'arrive pas à faire cette exercice pouvez vous m'aider ? s'il vous plait
Le but de l’exercice est de montrer que √2 est irrationnel.
On suppose par l'absurde que √2 est rationnel.
1. Rappeler la définition d’un nombre rationnel.
Soit a, b ∈ ℕ tels que √2 = a/b avec a/b irréductible.
2.Montrer que a² = 2b².
3.En déduire la parité de a.
4.Montrer alors qu’il existe a² ∈ ℕ tel que 2b² = 4n². En déduire la parité de b.
5.En quoi les réponses aux questions 3 et 4 contredisent notre hypothèse de départ?
Que peut-on en conclure pour √2 ?

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Réponse :

Explications étape par étape :

Bonjour

1) Un nombre rationne est un nombre pouvant s'écrire sous la forme du quotient de 2 entiers naturels

2) Si V2=a/b alors (V2)²=(a/b)²

Soit 2=a²/b² et a²=2b²

3) Si a est pair alors il existe un entier p tel que a=2b donc a²=4p²=2(2p²) donc a² est aussi pair.

Si a est impair alors il existe un entier q tel que a=2q+1 donc a²=4q²+4q+1

et a²=2(2q²+2q)+1 donc a² est impair

On a donc "si a est pair alors a² est pair" et "si a est impair alors a² est impair".

Conclusion : a et a² ont la même parité.

Or a² est pair (car de la forme 2k) donc a est pair. Il s'écrit donc sous la forme a=2r avec r € IN

4) a=2r donc a²=4r² or a²=2b²

Donc 2b²=4r² donc b²=2r²

b² est donc pair donc b est pair aussi. Il existe donc un entier s tel que b=2s

Donc la fraction a/b=2r/2s n'est pas irréductible ce qui contredit l'hypothèse de départ.

Donc V2 est irrationnel.

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