]Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
On va chercher la surface de tôle nécessaire pour fabriquer une casserole qui contient 2L.
Soit "x" le rayon de base en dm.
Le volume est de 2L donc 2 dm³.
Volume V=aire base * hauteur = aire base * h
Aire base=πx²
Donc :
V=πx²*h
Mais V=2 donc :
πx²*h=2
soit :
h=2/πx²
On a l'aire de base . Il nous faut l'aire latérale pour connaître surface totale de la tôle.
Aire latérale=2π*x*h=2π*x*2/πx²
Ce qui donne , après simplification :
Aire latérale=4/x
Aire totale de la tôle =π*x² + ( 4/x)
C'est la fonction donnée :
f(x)=πx²+4/x
Il faut savoir quelle sera la valeur de "x" pour laquelle la fct f(x) sera minimale.
La démonstration est compliquée et je ne pense pas qu'on l'exige puisque qu'on te donne :
Extremum (f,0,2)
=(0.8603,6.9747)
Ce qui veut dire :
Pour x ∈]0;2] , la fct f(x) passe par un extremum ( en fait un minimum ) pour:
x ≈ 0.8603 dm soit x ≈ 8.6 cm
et que l'aire de la tôle nécessaire est de 6.97 dm² environ soit 697 cm².
Le rayon de la casserole est donc de 8.6 cm environ.
Calcul de la hauteur :
h=2/πx²
h=2/π*0.8603²
h≈ 0.86 dm soit h=8.6 cm.
Il est bien connu que l'on utilise le minimum de tôle pour fabriquer une casserole d'un volume donné si le rayon du fond est égal à la hauteur.
