Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour
1) Une fonction de la forme u/v se dérive en (u'v-uv')/v² donc :
f'(x)=(2x(2x-5)-2(x²-4))/(2x-5)²
f'(x)=(4x²-10x-2x²+8)/(2x-5)²
f'(x)=(2x²-10x+8)/(2x-5)²
2) Il suffit de remplacer x par 1 puis 4 et de voir que ça fait 0.
3) On en déduit que 2x²-10x+8=2(x-1)(x-4)
4) (2x-5)² étant toujours positif, le signe de f'(x) dépend de (x-1)(x-4). Dans le tableau on fait apparaître la valeur interdite 5/2 :
x -oo 1 5/2 4 +oo
x-1 - 0 + II + +
x-4 - - II - 0 +
f' + - - +
5) Ce qui donne les variations suivantes pour f :
x -oo 1 5/2 4 +oo
f croissante décroissante II décroissante croissante
6) La tangente est horizontale quand le nombre dérivé est nul.
On sait que f'(1)=f'(4)=0
Donc Cf admet une tangente horizontale aux abscisses x=1 et x=4
