Réponse :
Bonjour
1)
[tex]f(6) = ln(\frac{6-4}{6-2} )\\f(6) = ln(\frac{2}{4} )\\f(6) = ln(2 )-ln(4)[/tex]
2)
voir le tableau de signe en piece jointe
[tex]\frac{x-4}{x-2} >0[/tex] pour x ∈ ]-∞; 2[ ∪ ]4; +∞[
Df = ]-∞; 2[ ∪ ]4; +∞[
f est dérivable sur Df comme composée de fonctions dérivables sur Df
[tex]f'(x) = \frac{\frac{1(x-2)-1(x-4)}{(x-2)^{2} } }{\frac{x-4}{x-2} } \\\\f'(x)=\frac{x-2-x+4}{\frac{(x-4)(x-2)^{2}}{(x-2)} } \\\\f'(x) = \frac{2}{(x-4)(x-2)}[/tex]
f'(x) est du signe du polynôme du second degré (x-4)(x-2) dont les racines sont 2 et 4.
Sur ]-∞; 2[ , f'(x) est positive donc f est croissante.
Sur ]4; +∞[, f'(x) est positive donc f est croissante.
d) A l'aide d'une intégration par partie, on calcule I
On pose u'(x) = eˣ et v(x) = 2x+3
u(x) = eˣ et v'(x) = 2
[tex]\int\limits^1_0 {(2x+3)e^x} \, dx=[(2x+3)e^x]_0^1-\int\limits^1_0 {2e^x} \, dx \\I =(5e-3)-2[ e^x]_0^1\\I = (5e-3)-(2e-2)\\I = 3e-1[/tex]
Explications étape par étape :
