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SPARTCOP5GO
résolu

Bonjour j'aurais besoin d'aide pour ce problème. Merci .

Une entreprise veut étudier la dépréciation (perte de valeur) d'une de ses machines au cours du temps.
On sait que la machine a été achetée 21 674 € début 2016 et que sa valeur diminue de 11 % par an.
On note la suite (Un) définie par :
(U0), la valeur de la machine, en euros, à la date de l'achat
(Un) la valeur de la machine après (n) année d'utilisation.
1. Calculer la valeur de la machine début 2017 puis début 2018.
2. Préciser, en justifiant, la nature (arithmétique ou géométrique de la suite (un) puis vérifier que pour
tout entier n, Un = 21674x0,89".
3. L'entreprise souhaite revendre la machine avant que sa valeur ne soit inférieure à 10 000 €. Donner
le nombre d'années d'utilisation possible de la machine. En déduire au début de quelle année doit-
on vendre cette machine.
Toute méthode de résolution (utilisation du tableur ou du solveur de la calculatrice, calcul,
tâtonnement...) est acceptée mais la réponse devra être argumentée.​

Répondre :

CAYLUSGO

Bonjour,

[tex]u_{0}=21674\\u_{n+1}=u_n*0.89\\\\1)\\u_1=u_0*0.89=21674\\u_2=u_1*0.89=19289,86[/tex]

2)

la suite est géométrique de raison 0.89 et de premier terme 21674.

[tex]u_n=u_0*0.89^n\\[/tex]

3)

  • en utilisant un tableur
  • en utilisant les logarithmes néperiens:

[tex]u_n <10000\\\\21674*0.89^n > 10000\\\\0.89^n > \dfrac{10000}{21674} \\\\n*ln(0.89) > ln( \dfrac{10000}{21674} )\\\\n < \dfrac{ ln( \dfrac{10000}{21674} )}{ln(0.89)} ***\\\\n < 6.6378010...\\\\n < 7\\[/tex]

*** changement de signe car ln(0.89) < 0

Il s'agit de revendre la machine avant 2016+7=2023

Voir l'image CAYLUS
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