bjr
on sait que abc > 0 et a + b + c < 1/a + 1/b + 1/c
si a + b + c < 1/a + 1/b + 1/c alors a + b + c - (1/a + 1/b + 1/c) < 0 (1)
a + b + c - (1/a + 1/b + 1/c) =
a + b + c - 1/a - 1/b - 1/c = (dénominateur commun abc)
[(a + b + c)abc - bc -ac - ab] / abc =
(a²bc + ab²c + abc² - bc - ac - ab) /abc =
[bc(a² - 1) + ac(b² - 1) + ab(c² - 1)] / abc
supposons que les trois nombres a, b et c soient supérieurs à 1
alors
[bc(a² - 1) + ac(b² - 1) + ab(c² - 1)] / abc > 0 (2)
ce qui est en contradiction avec (1)
les 3 nombres ne peuvent pas être tous supérieurs à 1,
il y en a au moins un qui est inférieur à 1
