Réponse :
1) justifier que la superficie de l'enclos en m², est donnée en fonction de x
par g(x) = 4 xe⁻⁰⁵ˣ pour x ∈ [0 ; 5]
superficie de l'enclos est : s = OA * AB
A(x ; 0)
B(x ; 4e⁻⁰⁵ˣ)
vec(OA) = (x ; 0) ⇒ OA² = x² ⇒ OA = √x² = x car x ≥ 0
vec(AB) = (x - x ; 4e⁻⁰⁵ˣ) = (0 ; 4e⁻⁰⁵ˣ) ⇒ AB² = (4e⁻⁰⁵ˣ)² ⇒ AB = √(4e⁻⁰⁵ˣ)²
⇒ AB = 4e⁻⁰⁵ˣ car e⁻⁰⁵ˣ > 0
donc s = OA * AB = x * 4e⁻⁰⁵ˣ
donc la fonction g(x) = 4 xe⁻⁰⁵ˣ pour tout x ∈ [0 , 5]
2) la fonction g est dérivable sur [0 ; 5] Montrer que pour tout réel x de l'intervalle [0 ; 5] , on a g '(x) = (4 - 2 x)e⁻⁰⁵ˣ
la fonction g est le produit de deux fonctions dérivables sur [0 ; 5]
et sa dérivée g ' est g '(x) = (u * v)' = u'v + v'u
u(x) = 4 x ⇒ u'(x) = 4
v(x) = e⁻⁰⁵ˣ ⇒ v'(x) = - 0.5e⁻⁰⁵ˣ
g '(x) = 4 * e⁻⁰⁵ˣ + 4 x * (- 0.5e⁻⁰⁵ˣ)
= 4e⁻⁰⁵ˣ - 2 xe⁻⁰⁵ˣ
= (4 - 2 x)e⁻⁰⁵ˣ
3) en déduire le tableau de variations de la fonction g sur [0 ; 5]
g '(x) = (4 - 2 x)e⁻⁰⁵ˣ or e⁻⁰⁵ˣ > 0 donc le signe de g '(x) dépend du signe de 4 - 2 x
x 0 2 5
g'(x) + 0 -
variation 0→→→→→→→→→→→→→ 8e⁻¹→→→→→→→→ 20e^-2.5
de g Croissante décroissante
4) où doit-on placer le point A sur (OD) pour obtenir une superficie d'enclos maximale ?
on doit placer le point A d'abscisse x = 2 sur (OD) pour avoir une superficie maximale
Donner la superficie maximale possible en arrondissant au dm²
la superficie maximale est smax = 8e⁻¹ m² ≈ 2.9 m²
Explications étape par étape :
