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Explications étape par étape:
Bonsoir, pour mieux visualiser, tu peux formaliser littéralement (mentalement ou à l'écrit, au choix).
Transcrire une proposition en "français" est parfois plus aisé pour comprendre, ici, l'exercice est approprié.
A implique B signifie que, si la condition A est validée, alors la condition B le sera.
Par exemple, si tu écris : A = "Il a plu aujourd'hui sur le trottoir" et B = "Le trottoir est mouillé", alors A implique B. En revanche, si le trottoir est mouillé, rien ne prouve qu'il s'agit de la pluie (donc B n'implique pas A).
Enfin, A et B sont équivalentes si A implique B, et B implique A.
1- Si x = 2, alors forcément x > 1. En revanche, si x > 1, il peut très bien valoir 5, 19, comme 379. x > 1 signifie que x € ]1 ; +infini[, x peut donc prendre n'importe quelle valeur différente de 2.
Conclusion : A implique B.
2- Ici aucun problème. Si tu multiplies la 1re inégalité par 2 de chaque côté, tu obtiens la 2e, et réciproquement en divisant par 2. A et B sont donc équivalentes.
3- L'ensemble des entiers relatifs Z est inclus dans l'ensemble des rationnels Q. Pourquoi ? On sait que tout rationnel s'exprime comme une fraction d'entiers relatifs. En divisant un entier relatif par un autre, on peut obtenir un entier relatif, mais pas forcément.
Par ex, 8 / (-4) = - 2 mais -3 / 5 n'est pas un entier relatif, donc Z est bien inclus dans Q ici.
Conclusion : A n'implique pas B (car Q n'est pas inclus dans Z, un rationnel peut ne pas être entier relatif, comme on a pu s'en apercevoir).
Néanmoins, B implique A (car Z est inclus dans Q).
4- Pour t'aider, tu peux tracer la fonction carrée, afin de visualiser graphiquement. En premier lieu, B implique A. En effet, par croissance de la fonction carrée, si x > 4, alors x^2 > 16.
En revanche, A n'implique pas B. Il suffit par exemple, de prendre x = -5. Alors x^2 = 25 > 16, donc x n'est pas forcément supérieur à 4. (il est inférieur à -4 oui).
Conclusion : B implique A.
5- Par définition de la fonction valeur absolue :
|x| = x si x >= 0.
|x| = - x si x <= 0.
Il est donc évident que A et B sont équivalentes.
6- Ici, attention au piège, ces 2 propositions retombent régulièrement en maths.
A implique forcément B.
En revanche, pour la proposition B, x^2 = y^2 équivaut à (x-y) (x+y) = 0, donc x = y ou x = -y.
B n'implique donc pas A.
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