Réponse :
Bonsoir
a) Soit P(n) la propriété : 0 ≤ wₙ ≤ wₙ₊₁ ≤ 7
Initialisation :
w₀ = 2 et w₁ = √14
donc 0 ≤ w₀ ≤ w₁ ≤ 7
P(0) est vraie
Hérédité
Soit un certain n ∈ N tel que : 0 ≤ wₙ ≤ wₙ₊₁ ≤ 7
⇔ 0 ≤ 7wₙ ≤ 7wₙ₊₁ ≤ 49
⇔ 0 ≤ √(7wₙ) ≤ 7(wₙ₊₁) ≤ √49
⇔ 0 ≤ wₙ₊₁ ≤ wₙ₊₂ ≤ 7
P(n) est donc héréditaire
Conclusion
La propriété P(n) est vraie au rang 0 , et elle est héréditaire. Donc pour tout entier naturel n , 0 ≤ wₙ ≤ wₙ₊₁ ≤ 7
b) On a démontré que pour tout n entier naturel , wₙ ≤ wₙ₊₁ . La suite (wₙ) est donc croissante.
