Réponse :
P(x) = 4 x³ + 11 x² + 5 x - 2
1) trouver une racine évidente de ce polynôme P
pour x = - 1 ⇒ P(- 1) = - 4 + 11 - 5 - 2 = - 11 + 11 = 0
donc - 1 est une racine évidente de P
2) trouver les nombres réels a , b et c tels que pour tout x de R
P(x) = (x + 1)(a x² + b x + c)
= a x³ + b x² + c x + a x² + b x + c
= a x³ + (a + b) x² + (b + c) x + c
a = 4
a + b = 11 ⇒ b = 11 - a ⇒ b = 11 - 4 = 7
b + c = 5
c = - 2
donc P(x) = (x + 1)(4 x² + 7 x - 2)
3) conclure
P(x) = 0 ⇔ (x + 1)(4 x² + 7 x - 2) = 0
4 x² + 7 x - 2 = 0
Δ = 49 + 32 = 81 > 0 ⇒ 2 racines distinctes
x1 = - 7 + 9)/8 = 1/4
x2 = - 7 - 9)/8 = - 16/8 = - 2
Donc le polynôme P possède 3 racines
x = - 1
x = 1/4
x = - 2
Explications étape par étape :
