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LEONIE007GO
résolu

Bonjour pourriez vous m’aider :
Soit la suite (un) définie par la donnée de u0= 1 et, pour
tout entier naturel n, un+1 = 4un +9.
1. Montrer que la suite (v.) telle que vn = 4un+3 pour tout entier
naturel n est une suite géométrique de raison 4.
2. Montrer que vo = 4 et en déduire v, en fonction de n.
3. Montrer que, pour tout entier naturel n, u = 4^n+1 -3.

Répondre :

ECTO220GO

Réponse :

Bonjour

1) uₙ₊₁ = 4uₙ + 9

vₙ = uₙ + 3

donc vₙ₊₁ = uₙ₊₁ + 3

⇔ vₙ₊₁ = 4uₙ + 9 + 3

⇔ vₙ₊₁ = 4uₙ + 12 = 4(uₙ + 3)

⇔ vₙ₊₁ = 4vₙ

(vₙ) est donc bien une suite géométrique de raison 4

2) v₀ = u₀ + 3 = 1 + 3 = 4

donc vₙ = 4 × 4ⁿ = 4ⁿ⁺¹

3) vₙ = uₙ + 3 donc uₙ = vₙ - 3

donc uₙ = 4ⁿ⁺¹ - 3

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