Réponse :
U1 = 1/2
pour tout entier naturel n ≥ 1 ; Un+1 = Un + 1/(n+1)(n+2)
1) calculer U2 ; U3 et U4 en donnant les résultats sous forme de fraction irréductible
U2 = U1 + 1/(1+1)(1+2) = 1/2 + 1/6 = 4/6 = 2/3
U3 = U2 + 1/(2+1)(2+2) = 2/3 + 1/12 = 9/12 = 3/4
U4 = U3 + 1/(3°1)(3+2) = 3/4 + 1/20 = 16/20 = 4/5
2) a) quelle conjecture peut-on faire sur l'expression de Un en fonction de n
pour tout entier naturel n ≥ 1 , on a Un = n/n+1
b) démontrer cette conjecture par récurrence
* initialisation : vérifions que pour n = 1 , P(1) est vrai
U1 = 1/(1+1) = 1/2 = 1/2 donc P(1) est vraie
* hérédité : supposons que pour tout entier naturel n ≥ 1 ; P(n) est vraie
et montrons que P(n+1) est vraie
Un+1 = Un + 1/(n+1)(n+2)
= n/(n+1) + 1/(n+1)(n+2)
= (n(n+2) + 1)/(n+1)(n+2)
= (n²+2n+1)/(n+1)(n+2)
= (n+1)²/ (n+1)(n+2)
= (n+1)/(n+2) donc P(n+1) est vraie
* conclusion : la propriété est vraie pour n = 1 et héréditaire à partir de rang, donc elle vraie pour tout entier naturel non nul
Explications étape par étape :
